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L’Auteur : Daniel Bernoulli [ 1700 – 1782 ]

 

Daniel Bernoulli – né à Groningue le 8 février 1700, et mort à Bâle, le 17 mars 1782

Daniel Bernoulli est né en 1700 dans le nord des Pays Bas à Groninge dans une famille de riches commerçants (commerce des épices) dont la réputation historique s’est construite grâce aux découvertes en Mathématiques ; lorsqu’il est question de Bernoulli, il est question des équations différentielles particulières, de l’inégalité de Bernoulli, de la loi de Bernoulli, des nombres et polynômes de Bernoulli, du schéma de Bernoulli, de la loi de Bernoulli etc … ), Daniel poursuivra également les recherches des ses ancêtres mais il s’intéressera aussi durant sa vie à divers domaines dont la médecine qu’il étudiera à Bâle , Strasbourg et Heidelberg , mais aussi la physique, la botanique et  la philosophie. Il obtient son doctorat de médecine en 1721 à Bâle. Il séjourne plusieurs années ( 1725-1734) à Saint-Pétersbourg où il est professeur de mathématiques, il reviendra ensuite à Bâle pour y enseigner l’astronomie, la médecine et la philosophie.Bernoulli aura de nombreux liens avec les Académies Européennes et entretient une correspondance foisonnante. Ses écrits les plus connus sont Hydrodynamica et Exposition of a New Theory on the Measurement of Risk 

La famille Bernoulli

 

 

 

 

 

 

Condorcet de l’Académie Royale des Sciences publiera un éloge de Mr de Bernoulli.

 

Le Paradoxe de Saint- Petersbourg

Soit la valeur espérée communément définie ainsi  :

Valeur espérée ( Z tend vers l’infini )

Vous êtes invité à jouer au jeu suivant : On jette une pièce de monnaie équilibrée jusqu’à ce que l’on tombe sur face, si vous tombez pour la première fois sur face vous gagnez 2^n euros et le jeu s’arrête.

Combien êtes vous prêt à mettre d’argent(obligatoire de payer) pour jouer au jeu ? 

Je récapitule ;

  •  Si  au premier lancer la pièce tombe sur face vous gagnez 2 euros le jeu s’arrête.
  • Sinon vous ne gagnez rien mais le jeu continue.

Alors ? 

D’après son étude empirique Bernoulli s’aperçoit que malgré le fait que la valeur espérée du jeu est infini, la plupart des gens ne sont pas prêt à mettre cette somme pour jouer.

Mais en moyenne une valeur proche de  4 euros ou 5 euros.

Résumé :

La probabilité de gagner 524 288 € est de 1/524 288.
La probabilité de gagner 1 048 576 € est de 1/524 288

Bernoulli nous dit que les gens ne résonnent pas en terme d’espérance de gain, mais d’une autre manière ; en espérance d’utilité  c’est à dire que  la fonction de départ est transformée.

Sur la base du calcul de l’espérance de gain, vous devriez être prêt à jouer toute votre fortune sur ce jeu de pièce de monnaie, ce qui est le cas de quasiment personne.Donc l’espérance de gain ne permet pas d’approximer le choix des individus pour ce jeu.

L’utilité retirée de la richesse n’est pas linéairement reliée à la richesse , on  a une fonction Non- linaire.

Bernoulli va alors prendre  comme proxi de l’utilité espérée la transformation logarithmique  : U(x) = log(x).

 La lettre adressée à M de Montmort  où il expose le problème :

 

KEVV


Sources :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Bernoulli
http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/ed/node18.html

PDF https://engineering.purdue.edu/~ipollak/ece302/FALL09/notes/Bernoulli_1738.pdf

http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k35819/f91.image