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La fonction de production CES est une fonction générale qui comporte plusieurs cas particuliers dont les fonctions de type Cobb Douglas et les fonctions de type Leontieff, elle est présentée pour la première fois dans un papier de la Revue d’économie et de statistique de la MIT Press intitulé Capital-Labor Substitution And Economic Efficiency réalisé par K. J. Arrow, H. B. Chenery, B. S. Minhas et R. M. Solow.

Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency- K. J. Arrow, H. B. Chenery, B. S. Minhas, R. M. Solow

 

La problématique du papier est de savoir quelles sont les niveaux de substituabilité entre le facteur travail et le facteur Capital. Durant des années les économistes ont accepté des hypothèses simples par manque d’observations empiriques. L’observation empirique montre qu’il y de nombreux degré de substituabilité entre facteurs selon les types de production.

L’objectif de l’article et de proposer une forme fonctionnelle sans restriction sur la valeur prise par l’élasticité de substitution entre capital et travail et estimer la valeur de cette élasticité pour différents secteurs industriels.

Le point de départ de l’étude sont les données de 19 pays et 24 secteurs industriels sur l’observation empirique que la valeur ajoutée par unité de travail utilisé dans une industrie varie avec le taux de salaire.

The starting point for the present study was the empirical observation that the value added per unit of labor used within a given industry varies across countries with the wage rate. Evidence of this relationship for 24 manufacturing industries in a sample of I9 countries is given in section I. A regression of the labor productivity on the wage rate shows a highly significant correlation in all industries and also a considerable variation in the regression coefficients

On s’attend en dérivant la fonction qu’on cherche à trouver les conditions suivantes : (i) l’homogénéité, (ii) une élasticité de substitution constante entre travail et capital , (iii) la possibilité de différentes élasticités pour différents types de production.

La fonction contient 3 paramètres qui sont :

  1. le paramètres de substitution ( constant dans chaque industrie)
  2. le paramètre d’efficacité ( variable)
  3. le paramètre de distribution ( constant dans chaque industrie)

Dans la première partie les auteurs procèdent à une régression pour tenter d’avoir un aperçu de la variation du facteur travail et du coût du travail en prenant la productivité du travail ( V/L [V: valeur ajoutée en millier de dollars, L: le nombre de travailleur par an) comme fonction du taux de salaire, ils obtiennent que dans  20 sur 24 industries, plus de 85 % de la variation de la productivité du travail  est expliquée par la variation du taux de salaire seul.

QZE

Le coefficient  b est égale à l’élasticité de substitution entre le capital et le travail, et après réalisation d’un test statistique de Student ils montrent que dans tous les cas la valeur de b est significativement différente de 0 à un niveau de confiance de 90%, et dans 14 sur 24 industries  b est significativement différente de 1 à un niveau de confiance de 90%.Donc les hypothèses statistiques sont rejetées.

Dans la seconde partie, sous l’hypothèse de rendements d’échelles constants d’une fonction homogène de degré 1, ils réalisent des transformations et plusieurs différentielles pour montrer que  :

L’élasticité de K/L est constante et égale à l’élasticité de substitution ( dans la suite on prend σ au lieu de b ), et que l’élasticité du taux de rentabilité au taux de salaire est le ratio entre la part du travail et la part du capital en valeur ajoutée.

et surtout qu’on obtient une fonction de la forme générale suivante (omission volontaire des calculs) :sfde

avec

rttr

Si on veut modifier les rendements d’échelles il suffit de changer le terme 1 de l’exposant (1/Ψ) par un paramètre quelconque comme k et le modifier à sa guise. De plus pour garantir un sentier de croissance équilibré en régime permanent dans la théorie de la croissance, la fonction de production doit être linéairement homogène (c’est à dire k =1 ).

On va s’intéresser plus spécialement aux propriétés et aux conditions qui font de la CES une fonction générale englobant les cas particuliers de Cobb-Douglas et Leontief.

D’abord on peut analyser chaque terme :

Y = est une mesure de la production réelle de l’économie

A = paramètre d’efficacité ou d’échelle, A > 0

ψ = c’est une transformation de l’élasticité de substitution ( paramètre de substitution, )

α =  la distribution du revenu ( paramètre de distribution, 0 < α< 1 )

Kt est le stock de capital utilisé à la période t ( mais dans la formule  on a omis l’indice relatif à la période dans le but d’alléger la présentation car elle n’affecte pas les développements prochains)

Lt est la quantité du facteur travail utilisée ( de même pour l’indice de temps)

On cherche ensuite les productivité marginales des facteur Travail et facteur Capital

RYTQZXC

OGBCOGFCO

On remarque par ailleur que les conditions d’Inada ne sont pas respectées pour une fonction de production CES.

Analyse asymptotique du paramètre Ψ

Dans le cas où Ψ→1 on obtient Y=A (aK+(1−a)L)

Il s’agit d’un graphique à 3 Dimensions mais pour représenter la courbe on fixe une valeur de Y , on obtient une isoquante. Le long de cette isoquante la quantité produite est la même. Ce qui est intéressant c’est de voir la substitution entre K et L.

Dans le cas où Ψ→0 on obtient Y=A.1^∞ forme indeterminée

on obtient Cobb-Douglas en utilisant la règle de l’Hôpital, on montre que lorsque le paramètre ψ tend vers 0, la fonction CES se confond avec une fonction Cobb-Douglas.
Dans le cas où Ψ→−∞ on obtient Y= A . min ⁡( K, L) ou Y = min [K/A^(-1) , L/A^(-1) ]  ils’agit d’une fonction à la Léontief, et les facteurs ne sont pas substituables mais complémentaires (élasticité de substitution nulle).

Graphique 

sqdcf

Résumons :

Si ψ = 0       :      σ= 1 on obtient Cobb-Douglas

Si ψ = -∞      :     σ = 0 on obtient Leontief ( facteurs complémentaires pas de substitution possible)

Si ψ = 1        :      σ = ∞ on obtient une isoquante qui est une droite ( travail et capital parfaits substituts)

Si ψ < 1        :     σ< 0 on obtient une isoquante concave (CET)

 

Dans la partie 3 de l’article il s’agit de tester la validité de la fonction CES , la partie 4  prend comme exemple le marché des matières premières pour mettre en évidence que les variations de substitutions factorielles de la fonction peuvent impacter la structure de l’économie sous différents niveaux de revenu et pour cela ils utilisent les données des Usa et du Japon.

eqzfc

 

La section suivante s’intéresse plus particulièrement aux variations des coûts des facteurs de production en fonction des secteurs des deux économies étudiées, par exemple les salaires aux Usa varient moins entre les secteurs qu’aux Japon,  ensuite ils s’intéressent aux effets de la variation de la distribution des revenus  et de la variation de l’élasticité de substitution sur la variation des prix relatifs, puis de l’efficacité relative. La partie 5 cherche à connaître se qu’il pourrait se passer en cas de progrès technologique, puis s’achève par une une conclusion en partie 6.

This article has touched on a wide range of subjects: the pure theory of production, the functional distribution of income, technological progress, international differences in efficiencythe sources of comparative advantage.

Remarques importantes :

  • Finalement σ < 1 
  • CES : plus flexible et plus réaliste 

Ci dessous un site consacrée à l’analyse de la fonction CES :

Fonction CES – Elmer G. Wiens

Papier entier : Capital-Labor Substitution And Economic Efficiency 


Références 

http://www.aae.wisc.edu/aae705/References/Arrow_etal_1961.pdf

McFadden, Daniel. 1963. “Constant Elasticity of Substitution Production Functions”. The Review of Economic Studies 30 (2). [Oxford University Press, Review of Economic Studies, Ltd.]: 73–83. http://www.jstor.org/stable/2295804.

https://www-perso.gate.cnrs.fr/goffette-nagot/l3econometrie/slides_Chap2_NB_4p.pdf

TD macroéconomie Université Paris X Nanterre